Question

9、設函數f（x）=x|x|+bx+c，給出下列四個命題：
①c=0時，f（x）是奇函數；
②b=0，c＞0時，方程f（x）=0只有一個實根；
③f（x）的圖象關于（0，c）對稱；
④方程f（x）=0至多兩個實根．
其中正確的命題是（　　）

A、①④

B、①③

C、①②③

D、①②④

Answer 1

分析：①c=0時，可由奇函數的定義判斷正確．③由①可知c=0時，f（x）圖象關于原點對稱，故f（x）=x|x|+bx+c的圖象由y=x|x|+bx向上或向下平移|c|個單位，故關于（0，c）對稱正確；②④中取b=-3，c=2即可判斷錯誤．

解答：解：①c=0時，f（-x）=-x|x|-bx=-f（x），故f（x）是奇函數，故①正確；
③由①可知c=0時，f（x）圖象關于原點對稱，f（x）=x|x|+bx+c的圖象由y=x|x|+bx向上或向下平移|c|個單位，故關于（0，c）對稱正確；
取b=-1，c=0，則f（x）=x|x|-x=x（|x|-1）=0，x=0或x=±1，故④錯誤；
再取b=-3，c=2，當x＞0時，f（x）=x²-3x+2=0，x=1或x=2，故②錯誤
故選B

點評：本題考查含有絕對值的函數的奇偶性、對稱性和零點問題，綜合性強，難度較大．