Question

如圖，矩形ABCD與ADQP所在平面垂直，將矩形ADQP沿PD對折，使得翻折后點Q落在BC上，設AB=1，PA=h，AD=y．

　　

(1)試求y關于h的函數解析式；

(2)當y取最小值時，指出點Q的位置，并求出此時AD與平面PDQ所成的角；

(3)在條件(2)下，求三棱錐P—ADQ內切球的半徑．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)顯然h＞1，連接AQ， ∵平面ABCD⊥平面ADQP，PA⊥AD， ∴PA⊥平面ABCD，由已知PQ⊥DQ， ∴AQ⊥DQ，AQ=y2－h2． ∵Rt△ABQ∽Rt△QCD，CQ=， ∴，即． ∴y=(h＞1)． (2)y== =＋≥2， 當且僅當，即h=時，等號成立． 此時CQ=1，即Q為BC的中點，于是由DQ⊥平面PAQ，知平面PDQ⊥平面PAQ，PQ是其交線，則過A作AE⊥平面PDQ，∴∠ADE就是AD與平面PDQ所成的角，由已知得AQ=，PQ=AD=2，∴AE=1，sinADE=，∠ADE=30°． (3)設三棱錐P－ADQ的內切球半徑為r， 則(S△PAD＋S△PAQ＋S△PDQ＋S△ADQ)·r=VP－ADQ ． ∵VP－ADQ=S△ADQ·PA=，S△PAQ=1， S△PAD=，S△QAD=1，S△PDQ=， ∴r=．