Question

 

已知函數 .

（Ⅰ）若函數在區間其中a >0，上存在極值，求實數a的取值范圍；

（Ⅱ）如果當時，不等式恒成立，求實數k的取值范圍；

（Ⅲ）求證.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（Ⅰ）因為， x >0，則， （1分）

             當時，；當時，.

             所以在（0，1）上單調遞增；在上單調遞減，

             所以函數在處取得極大值.             （1分）

             因為函數在區間（其中）上存在極值，

             所以  解得.                （2分）

（Ⅱ）不等式即為 記

      所以   （1分）

      令，則，                       （1分）

      ，    

      在上單調遞增，                             （1分）

      ，從而，

      故在上也單調遞增，                           （1分）

      所以，所以 .                      （1分）

（Ⅲ）又（Ⅱ）知：恒成立，即，  （1分）

     令，則，

     所以 ，                                     （1分）

          ，

          ，

           

          ，                               （1分）

      疊加得：

     

 .                         （2分）

則，

所以.                             （1分）