Question

已知函數f（x）=m^x-log_nx（0＜m＜1＜n），正實數a，b，c，滿足a＞b＞c＞0，且f（a）f（b）f（c）＜0，若存在實數d是函數y=f（x）的一個零點，那么下列四個判斷：①；d＞1；②d＜a；③d＞b；④d＜b；⑤d＞c其中有可能成立的個數為（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

Answer 1

【答案】分析：由f（x）=m^x-log_nx=0（0＜m＜1＜n），可構造函數g（x）=m^x，h（x）=log_nx，在同一坐標系內作出兩函數的圖象，圖象交點處橫坐標就是d的值，故d＞1，①正確；
又a＞b＞c＞0，且f（a）f（b）f（c）＜0，所以f（a）＜0，f（b）＜0，f（c）＜0或者f（a）＜0，f（b）＞0，f（c）＞0，若前者成立，必有a＞d，b＞d，c＞d，∴②，④正確；
若后者成立，必有c＜d，b＜d，故③，⑤正確；于是可得答案．
解答：解：∵f（x）=m^x-log_nx=0（0＜m＜1＜n），可構造函數g（x）=m^x，h（x）=log_nx，在同一坐標系內作出兩函數的圖象，圖象交點處橫坐標就是d的值，故d＞1，①正確；
又a＞b＞c＞0，且f（a）f（b）f（c）＜0，
所以f（a）＜0，f（b）＜0，f（c）＜0或者f（a）＜0，f（b）＞0，f（c）＞0，
若前者成立，必有a＞d，b＞d，c＞d，∴②，④正確；
若后者成立，必有c＜d，b＜d，故③，⑤正確；
故答案為：D．
點評：本題旨在考查指數函數與對數函數的圖象與性質，解題的關鍵是構造指數函數與對數函數，利用數形結合與分類討論的數學思想解決．