Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A在x軸正半軸上，直線AB的傾斜角為

3π

4

，|OB|=2，設(shè)∠AOB=θ， θ∈(

π

2

，

3π

4

)．
（Ⅰ）用θ表示點B的坐標及|OA|；
（Ⅱ）若tanθ=-

4

3

，求

OA

•

OB

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由三角函數(shù)的定義，得點B的坐標；在△AOB中利用正弦定理求出|OA|長．
（Ⅱ）利用向量的數(shù)量積公式等于向量的模乘以它們的夾角余弦乘積及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式求出．

解答：（Ⅰ）解：由三角函數(shù)的定義，得點B的坐標
為（2cosθ，2sinθ）．
在△AOB中，|OB|=2，∠BAO=

π

4

， ∠B=π-

π

4

-θ=

3π

4

-θ，
由正弦定理，得

|OB|

sin π 4

=

|OA|

sin∠B

，
即

2

2 2

=

|OA|

sin( 3π 4 -θ)

，
所以|OA|=2

2

sin(

3π

4

-θ)．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得

OA

•

OB

=|

OA

|•|

OB

|•cosθ=4

2

sin(

3π

4

-θ)•cosθ，
因為tanθ=-

4

3

， θ∈(

π

2

，

3π

4

)，
所以sinθ=

4

5

， cosθ=-

3

5

，
又sin(

3π

4

-θ)=sin

3π

4

•cosθ-cos

3π

4

•sinθ
=

2

2

•(-

3

5

)-(-

2

2

)•

4

5

=

2

10

，
所以

OA

•

OB

=4

2

•

2

10

•(-

3

5

)=-

12

25

．

點評：本題考查三角函數(shù)的定義；考查三角函數(shù)的正弦定理；考查向量的數(shù)量積；考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式．