Question

設數列{a_n}的首項a₁∈（0，1），a_n+1=

3-an

2

（n∈N₊）
（I）求{a_n}的通項公式；
（II）設b_n=a_n

3-2an

，判斷數列{b_n}的單調性，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）  由已知a_n+1=

3-an

2

（n∈N₊），遞推公式兩邊同減去1得出，a_n+1-1=

1-an

2

=-

1

2

 (an -1)，，判斷出{a_n-1}為等比數列．先求出{a_n-1}的通項公式，再求出{a_n}的通項公式．
（Ⅱ） 判斷數列{b_n}的單調性，可以轉化為考慮{b_n²}的單調性，應判斷出 b_n=的正負性，結合不等式的性質證明．

解答：解：（Ⅰ） 已知a_n+1=

3-an

2

（n∈N₊），遞推公式兩邊同減去1得出，
a_n+1-1=

1-an

2

=-

1

2

 (an -1)，
故{a_n-1}為等比數列，且首項為a₁-1，公比為-

1

2

，
根據等比數列通項公式可得{a_n-1} 的通項公式為
 an-1=(a1-1)(-

1

2

)n-1
∴{a_n}的通項公式為
an=1+(a1-1)(-

1

2

)n-1
（Ⅱ）是遞增數列．
證明如下：
∵0＜a₁＜1，
∴-1＜a₁-1＜0，
又當n≥2時，(-

1

2

)n-1＞-

1

2

根據不等式的性質得出
0＜(a1-1)(-

1

2

)n-1＜

1

2

∴an∈(0，1)∪(1，

3

2

)．⇒bn=an

3-2an

＞0
∴b_n+1²-b_n²=a_n+1²（3-2a_n+1）-a_n²（3-2a_n）
=(

3-an

2

)2an-

a

2 n

(3-2an)=

9

4

an(an-1)2＞0
∴b_n+1²＞b_n²⇒b_n+1＞b_n．
故{b_n}為遞增數列．

點評：本題考查等比數列的判定，通項公式求解，考查變形構造、計算能力，以及不等式的證明．屬于中檔題．