Question

直線

x

a

±

y

b

=0稱為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的“特征直線”，若橢圓的離心率e=

3

2

．
（Ⅰ）求橢圓的“特征直線”方程；
（Ⅱ）過橢圓C上一點M（x₀，y₀）（x₀≠0）作圓x²+y²=b²的切線，切點為P、Q，直線PQ與橢圓的“特征直線”相交于點E、F，O為坐標原點，若

OE

•

OF

取值范圍恰為(-∞，-3)∪[

3

16

，+∞)，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 由離心率的值求得

b

a

=

1

2

， a=2b，即得特征直線

x

a

±

y

b

=0的方程．
（Ⅱ） 用點斜式求出直線PQ的方程，與圓的方程聯立求得E的縱坐標y₁ ，同理求得F的縱坐標y₂，再根據點M滿足的條件及兩個向量的數量積公式求得，由0＜x₀²≤4b² 進一步化簡得，

OE

•

OF

＜-3b2，或

OE

•

OF

≥

3b2

16

，結合條件有 b²=1，從而得到 橢圓C的方程．

解答：解：（Ⅰ）設c²=a²-b²（c＞0），則由e=

c

a

=

3

2

，得

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

3

4

，
∴

b

a

=

1

2

 ， a=2b，橢圓的“特征直線”方程為：x±2y=0．
（Ⅱ）根據P、Q是以MO為直徑的圓和圓x²+y²=b²的交點，把兩圓的方程相減可得
直線PQ的方程，并化為一般式為 x₀x+y₀y=b²，設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
聯立

x0x+y0y=b2 x-2y=0

，解得 y1=

b2

y0+2x0

．  同理可求  y2=

b2

y0-2x0

，

OE

•

OF

=x1x2+y1y2=-3y1y2=

3b4

4 x 2 0 - y 2 0

，∵M（x₀，y₀）是橢圓上的點，
∴

x 2 0

4b2

+

y 2 0

b2

=1，從而

OE

•

OF

=

3b4

4 x 2 0 - y 2 0

=

3b4

17 4 x 2 0 -b2

，
∵0＜x₀²≤4b² ，∴-b2＜

17

4

x

2 0

-b2≤16b2，∴

OE

•

OF

＜-3b2，或

OE

•

OF

≥

3b2

16

，
由條件得  b²=1，故橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．

點評：本題考查橢圓的簡單性質，兩個向量的數量積公式，以及不等式的性質的應用．