Question

（2006•宣武區一模）正四面體A-BCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使得

AE

EB

=

CF

FD

=λ(λ＞0)，設f（λ）=α_λ+β_λ，α_λ與β_λ分別表示EF與AC，BD所成的角，則（　　）

A．f（λ）是（0，+∞）上的增函數

B．f（λ）是（0，+∞）上的減函數

C．f（λ）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減

D．f（λ）是（0，+∞）上的常數函數

Answer 1

分析：先證明正四面體的對棱AC與BD垂直，此結論由線面垂直得來，再由異面直線所成的角的定義，在同一平面內找到α_λ與β_λ，最后在三角形中發現f（λ）=α_λ+β_λ=

π

2

，從而做出正確選擇

解答：解：如圖，取線段BC上一點H，使

CH

HB

=λ，取BD中點O，連接AO，CO
∵正四面體A-BCD中每個面均為正三角形，∴BD⊥AO，BD⊥CO，∵AO∩CO=O，∴BD⊥平面AOC，∵AC?平面AOC∴BD⊥AC
∵

AE

EB

=λ(λ＞0)，

CH

HB

=λ，∴EH∥AC，∵

CF

FD

=λ(λ＞0)，

CH

HB

=λ，∴HF∥BD
∴∠HEF就是異面直線EF與AC所成的角，∠HFE就是異面直線EF與BD所成的角，∴∠EHF就是異面直線BD與AC所成的角，
∴α_λ=∠HEF，β_λ=∠HFE，∠EHF=90°
∴f（λ）=α_λ+β_λ=

π

2

，即f（λ）是（0，+∞）上的常數函數
故選D

點評：本題考察了異面直線所成的角的作法和算法，正四面體的性質，解題時要認真體會將空間問題轉化為平面問題的過程