Question

已知橢圓的左焦點為F，左右頂點分別為A，C上頂點為B，過F，B，C三點作⊙P，其中圓心P的坐標為（m，n）．
（1）若橢圓的離心率，求⊙P的方程；
（2）若⊙P的圓心在直線x+y=0上，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據橢圓的離心率和長半軸求得半焦距c，進而求得b，進而可求得B，F，C的坐標，設出圓P的方程，把三點坐標代入后聯立求得m，n和r，則所求圓的方程可得．
（2））根據⊙P過點F，B，C三點，可推斷出圓心P既在FC的垂直平分線上，也在BC的垂直平分線上，進而根據題意表示出FC和BC的垂直平分線方程聯立后求得交點即圓心的坐標表達式，代入直線方程x+y=0求得b，則橢圓的方程可得．
解答：解：（1）當時，∵a=1，∴，
∴，b=，
點，，C（1，0）
設⊙P的方程為（x-m）²+（y-n）²=r²，
由⊙P過點F，B，C得
∴①②（1-m）²+n²=r²③
由①②③聯立解得：，，-
∴所求的⊙P的方程為
（2）∵⊙P過點F，B，C三點，
∴圓心P既在FC的垂直平分線上，
也在BC的垂直平分線上，FC的垂直平分線方程為④
∵BC的中點為，k_BC=-b
∴BC的垂直平分線方程為⑤
由④⑤得，即（
∵P（m，n）在直線x+y=0上，∴⇒（1+b）（b-c）=0
∵1+b＞0∴b=c，由b²=1-c²得
∴橢圓的方程為x²+2y²=1
點評：本題主要考查了橢圓的基本性質，橢圓與圓和直線的位置關系．考查了學生綜合運用基礎知識的能力和分析推理的能力．屬中檔題．