Question

已知雙曲線的中心在原點，對稱軸為坐標軸，其一條漸近線方程是，且雙曲線過點.

   （1）求此雙曲線的方程；

   （2）設直線過點，其方向向量為，令向量滿足.雙曲線的右支上是否存在唯一一點，使得. 若存在，求出對應的值和的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

解：（1）設雙曲線的方程為，將點代入可得，

    雙曲線的方程為.

   （2）依題意，直線 的方程為 .設是雙曲線右支上滿足       

 的點，結合 ，得，

即點到直線的距離

              

    ①若，則直線與雙曲線的右支相交，此時雙曲線的右支上有兩個點到直線的距離為1，與題意矛盾；

②若，則直線在雙曲線右支的上方，故，從而

. 又因為 ，所以

.

當時，方程有唯一解 ，則；

當時，由得 ，此時方程有唯一解 ，則

綜上所述，符合條件的值有兩個：，此時；，此時.