Question

已知{x₁，x₂，x₃，x₄}⊆{x|（x-3）•sinπx=1，x＞0}，則x₁+x₂+x₃+x₄的最小值為（　　）

A．6

B．8

C．10

D．12

Answer 1

分析：將“（x-3）•sinπx=1”兩邊同除以“x-3”，再分別判斷兩端函數的對稱中心，得到函數f（x）=sinπx-

1

x-3

的對稱中心，再由對稱性求出x₁+x₂+x₃+x₄的最小值．

解答：解：由（x-3）•sinπx=1得，sinπx=

1

x-3

，則x＞0且x≠3，
∵y=sinπx是以2為周期的奇函數，∴y=sinπx的對稱中心是（k，0），k∈z，
∵y=

1

x-3

的圖象是由奇函數y=

1

x

向右平移3個單位得到，∴y=

1

x-3

的對稱中心是（3，0），
即函數f（x）=sinπx-

1

x-3

的對稱中心是（3，0），
∵{x₁，x₂，x₃，x₄}⊆{x|（x-3）•sinπx=1，x＞0}，
∴當x＞0時，最小值x₁和x₃、x₂和x₄關于（3，0）對稱，即x₁+x₃=6、x₂+x₄=6，
則x₁+x₂+x₃+x₄=12，
故選D．

點評：本題主要考查了利用函數的對稱性求出方程根之和的最值問題，關鍵是利用基本初等函數的對稱性進行判斷，相應復合函數的對稱性，難度較大．