Question

下列命題中，正確的是（　　）

A．直線a平行于平面α內的一條直線b，則a∥α

B．直線a垂直于平面α的斜線b在平面α內的射影，則a⊥b

C．直線a垂直于平面α，直線b是平面α的斜線，則a與b是異面直線

D．若一個棱錐的所有側棱與底面所成的角都相等，且所有側面與底面所成的角也相等，則它一定是正棱錐

Answer 1

分析：根據直線與平面平行的判定定理，得到A項錯誤；根據三垂線定理，得到B項錯誤；根據平面的垂線和斜線的定義，通過舉反例得到C項錯誤．最后用線面垂直的性質和正多邊形的判定定理，得到D項是正確的．

解答：解：對于A，若平面α外的直線a平行于平面α內的一條直線b，則a∥α
但條件中沒有直線a?平面α，故a∥α不成立，因此A錯；
對于B，若平面α內的直線a垂直于平面α的斜線b在平面α內的射影，則a⊥b
但條件中沒有直線a?平面α，故a⊥b不成立，因此B錯；
對于C，直線a垂直于平面α，設垂足為O，若直線b是平面α內經過點O的斜線，
則a與b是相交直線，故C錯；
對于D，棱錐的所有側棱與底面所成的角都相等，
得到棱錐頂點在底面的射影到底面多邊形各頂點距離相等，
說明這個射影是多邊形的外接圓圓心，
再根據所有側面與底面所成的角也相等，
得到棱錐頂點在底面的射影到底面多邊形各邊的距離相等，
說明這個射影是多邊形的內切圓圓心，
因此該棱錐的底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面的中心，
得到它是正棱錐，所以D正確．
故選D

點評：本題以棱錐的結構特征和空間的直線與平面的平行、垂直的位置關系為例，考查了立體幾何的論證能力和空間想象力，屬于基礎題．