Question

已知函數f（x）=ax²+2ln（1-x）（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在[-3，-2）上是增函數，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在正實數a，使得f（x）的導函數f′（x）有最大值？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知得f（x）的定義域為（-∞，1）
．（2分）
由題意得對一切x∈[-3，-2）恒成立，
∴．（5分）
當x∈[-3，-2）時，，
∴．故．（7分）
（Ⅱ）假設存在正實數a，使得成立.．（9分）
由，得，
∴．由于，故應舍去．
當時，．（11分）
令，解得或．（13分）
另解：假設存在正實數a，使得成立．
設，則．（9分）
由，解得或．
因為x∈（-∞，1），
∴g（x）在上單調遞增，在上單調遞減．
∴．（11分）
令，解得或．（14分）
分析：（Ⅰ）求出函數的定義域，求出函數的導數，利用導數在[-3，-2）恒為正，通過二次函數的最值求出實數a的取值范圍；
（Ⅱ）假設存在正實數a，使得f（x）的導函數f′（x）有最大值，直接求出a的值．
另解：假設存在正實數a，使得成立．設，求出＞0，解得或．通過x∈（-∞，1），g（x）在上單調遞增，在上單調遞減．得到，解得或．
點評：本題只要考查求函數的導數以及函數的最值問題，體現轉化的數學思想，特別注意新變量的取值范圍，同時也考查了二次函數在定區間上的最值問題，恒成立問題，屬中檔題．