Question

如圖，A，B是焦點為F的拋物線y²=-4x上的兩動點，線段AB的中點M在直線x=t（t＜0）上．
（1）當t=-1時，求|FA|+|FB|的值；
（2）記|AB|得最大值為g（t），求g（t）．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的定義及線段AB的中點M在定直線x=t （t＜0）上，可求|FA|+|FB|的值；
（2）設設直線AB的方程為x-t=-

m

2

（y-m），將直線的方程代入拋物線的方程，消去x得到關于y的一元二次方程，再結合根系數的關系利用弦長公式即可求得|AB|的表達式，最后利用二次函數的性質即可求出其最大值，從而解決問題．

解答：解：（1）y²=-4x的焦點坐標是F（-1，0），準線方程是x=1
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則|AF|=-x₁+1，|BF|=-x₂+1
∴|FA|+|FB|=-（x₁+x₂）+2
∵線段AB的中點M在定直線x=t （t＜0）上
∴x₁+x₂=2t，
∴|FA|+|FB|=-2t+2；
∵t=-1，∴|FA|+|FB|=4．
（2）由

y 2 1 =-4x1 y 2 2 =-4x2

得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=-4（x₁-x₂），
∴

x1-x2

y1-y2

=-

m

2

故可設直線AB的方程為x-t=-

m

2

（y-m）
即 x=-

m

2

y+

m2

2

+t     6分
聯立

x=- m 2 y+ m2 2 +t y2=-4x

消去x得y²-2my+2m²=4t=0
y₁+y₂=2m，y₁y₂=2m²+4t，8分
∴|AB|=

1+ m2 4

|y₁-y₂|=

-[m2+2(t+1)]2+4(t-1)2

，
∵△=-4m²-16t＞0，∴0≤m²＜-4t，
∴g（t）=|AB|_max=

4-t ，-1≤t＜0 2-2t，t＜-1

．14分．

點評：本題主要考查拋物線幾何性質，直線與拋物線的位置關系，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力．