Question

（本小題共16分）

已知數(shù)列各項(xiàng)均不為0，其前項(xiàng)和為，且對(duì)任意都有 （為大于1的常數(shù)），記f（n）．

（1）求；

（2）試比較與的大小（）；

（3）求證：（2n-1）f（n）≤f（1）+f（2）+…+f（2n-1） ≤[1-（）^2n-1] （n∈N^*）

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

（2），（）．

（3）略

【解析】解：（1） ∵，                     ①

∴．                                ②

②－①，得，即．

在①中令，可得．

∴是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，．    ………　4分  

（2）．

f（n），                             

．

而，且，

∴，．

∴，（）．    …10分

（3） 由（2）知 ，

，（）．

∴當(dāng)n時(shí)，．

，      

（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．

另一方面，當(dāng)n，時(shí)，

．

∵，∴．

∴,（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．

∴．

（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．

綜上所述，2n-1）f（n）≤f（1）+f（2）+…+f（2n-1） ≤[1-（）^2n-1] （n∈N^*）