Question

給定銳角三角形PBC，．設A，D分別是邊PB，PC上的點，連接AC，BD，相交于點O. 過點O分別作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分別為E，F，線段BC，AD的中點分別為M，N．

（1）若A，B，C，D四點共圓，求證：；

（2）若 ，是否一定有A，B，C，D四點共圓？證明你的結論．

Answer 1

解析：（1）設Q，R分別是OB，OC的中點，連接EQ，MQ，FR，MR，則

，

又OQMR是平行四邊形，

所以，

由題設A，B，C，D四點共圓，

所以，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m       

于是，

所以，

故 ，

所以  EM＝FM，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m       

同理可得  EN＝FN，

所以  ．

（2）答案是否定的．

當AD∥BC時，由于，所以A，B，C，D四點不共圓，但此時仍然有，證明如下：

如圖2所示，設S，Q分別是OA，OB的中點，連接ES，EQ，MQ，NS，則

，

所以   ．                  w.w.w.k.s.5.u.c.o.m               ①

又，

所以．                          ②

而AD∥BC，所以，                          ③

由①，②，③得  ．

因為  ，

      ，

即，

所以～，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m       

故  （由②）．

同理可得， ，

所以  ，

從而  ．