Question

已知函數f(x)=

x3+2x2+5x+t

ex

（1）當t=5時，求函數f（x）的單調區間；
（2）若存在t∈[0，1]，使得對任意x∈[-4，m]，不等式f（x）≤x成立，求整數m的最大值．

Answer 1

分析：（1）求導數f′（x），在定義域內解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得到其單調區間；
（2）不等式f（x）≤x可變為t≤xe^x-x³-2x²-5x，存在t∈[0，1]，使得對任意x∈[-4，m]，不等式f（x）≤x成立，等價于0≤xe^x-x³-2x²-5x對于x∈[-4，m]恒成立，先討論①m≤0時的情況，此時不等式可化簡為e^x-x²-2x-5≤0，令g（x）=e^x-x²-2x-5，由于m為整數，利用導數驗證m=-1，m=0時恒成立情況，再討論②m=1時情況，綜上可得最大整數m值．

解答：解：（1）當t=5時，f（x）=

x3+2x2+5x+5

ex

，∴f′(x)=

-x(x2-x+1)

ex

，
其中x²-x+1＞0，由f′（x）＞0，得x＜0，由f′（x）＜0，得x＞0，
所以，f（x）的增區間為（-∞，0），減區間為（0，+∞）；
（2）不等式f（x）≤x，即（x³+2x²+5x+t）e^-x≤x，即t≤xe^x-x³-2x²-5x．
轉化為存在實數t∈[0，1]，使得對任意x∈[-4，m]，不等式t≤xe^x-x³-2x²-5x恒成立，即不等式0≤xe^x-x³-2x²-5x對于x∈[-4，m]恒成立，
當m≤0時，則有不等式e^x-x²-2x-5≤0對于x∈[-4，m]恒成立，
設g（x）=e^x-x²-2x-5，則g′（x）=e^x-2x-2，又m為整數，
則當m=-1時，則有-4≤x≤-1，此時g′（x）=e^x-2x-2＞0，
則g（x）在[-4，-1]上為增函數，∴g（x）≤g（-1）＜0恒成立．
m=0時，當-1＜x≤0時，因為[g′（x）]′=e^x-2＜0，則g′（x）在（-1，0]上為減函數，
g′（-1）=e^-1＞0，g′（0）=-1＜0，故存在唯一x₀∈（-1，0]，使得g′（x₀）=0，即ex0=2x₀+2，
則當-4≤x＜x₀，有g′（x）＞0，；當x₀＜x≤0時，有g′（x）＜0；
故函數g（x）在區間[-4，x₀]上為增函數，在區間[x₀，0]上為減函數，
則函數g（x）在區間[-4，0]上的最大值為g(x0)=ex0-x02-2x₀-5，
又ex0=2x₀+2，則g（x₀）=（2x₀+2）-x02-2x₀-5=-x02-3＜0，
故不等式0≤xe^x-x³-2x²-5x對于x∈[-4，0]恒成立，
而當m=1時，不等式0≤xe^x-x³-2x²-5x對于x=1不成立．
綜上得，m=0．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性及恒成立問題，考查分類討論思想，考查學生分析問題解決問題的能力，解決恒成立問題常轉化為函數最值問題處理．