Question

如圖，在直角梯形ABCP中，AB=BC=3，AP=6，CD⊥AP于D，現將△PCD沿線段CD折成60°的二面角P-CD-A，設E，F，G分別是PD，PC，BC的中點．

（Ⅰ） 求證：PA∥平面EFG；
（II）若M為線段CD上的動點，問點M在什么位置時，直線MF與平面EFG所成角為60°．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AD中點O，連接GO，OE，利用三角形中位線的性質，可得四邊形OGFE為梯形，PA∥OE，利用線面平行的判定，可得PA∥平面EFG；
（Ⅱ）建立空間直角坐標系Oxyz，求出平面EFG的法向量

n

=(0，

3

，-1)，設點M(λ，

3

2

，0)（0≤λ≤3），于是

MF

=(

3

2

-λ，-

3

4

，

3

4

3

)，利用直線MF與平面EFG所成角為60°，建立方程，從而可得結論．

解答：（Ⅰ）證明：取AD中點O，連接GO，OE，則四邊形OGFE為梯形，PA∥OE

∵PA?平面EFG，OE?平面EFG，∴PA∥平面EFG；…（6分）
（Ⅱ）解：分別以OG，OD，OP為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系Oxyz，則

OG

=(3，0，0)，

OE

=(0，

3

4

，

3

4

3

)．
設平面EFG的法向量為

n

=(x，y，z)，則

n • OG =0 n • OE =0

，∴

3x=0 3 4 y+ 3 4 3 z=0

，
取y=

3

，得到

n

=(0，

3

，-1)．
設點M(λ，

3

2

，0)（0≤λ≤3），于是

MF

=(

3

2

-λ，-

3

4

，

3

4

3

)，
由題知sin60°=

| n • MF |

| n |×| MF |

，
即

3

2

=

|- 3 4 3 - 3 4 3 |

2× ( 3 2 -λ)2+ 9 16 + 9 16 ×3

，解得λ=

3

2

．
∴點M在CD的中點時，MF與平面EFG所成角為60°．…（14分）

點評：本題考查線面平行，考查線面角，考查利用空間向量解決線面角問題，正確求平面的法向量是關鍵，屬于中檔題．