Question

如圖，已知橢圓的左焦點為F，過點F的直線交橢圓于A，B兩點，線段AB的中點為G，AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D，E兩點．
（Ⅰ）若點G的橫坐標為，求直線AB的斜率；
（Ⅱ）記△GFD的面積為S₁，△OED（O為原點）的面積為S₂．試問：是否存在直線AB，使得S₁=S₂？說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依題意，直線AB的斜率存在，設其方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，確定G的橫坐標，即可求得直線AB的斜率；
（Ⅱ）假設存在直線AB，使得 S₁=S₂，確定G，D的坐標，利用△GFD∽△OED，即可得到結論．
解答：解：（Ⅰ）依題意，直線AB的斜率存在，設其方程為y=k（x+1）．
將其代入，整理得 （4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），所以．
故點G的橫坐標為．
依題意，得，解得．
（Ⅱ）假設存在直線AB，使得 S₁=S₂，顯然直線AB不能與x，y軸垂直．
由（Ⅰ）可得 ．
因為DG⊥AB，所以 ，
解得，即 ．
因為△GFD∽△OED，所以S₁=S₂，所以|GD|=|OD|．
所以，
整理得8k²+9=0．
因為此方程無解，所以不存在直線AB，使得 S₁=S₂．
點評：本題考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．