Question

（2012•淮北一模）在淮北市高三“一模”考試中，某校甲、乙、丙、丁四名同學(xué)，在學(xué)校年級(jí)名次依次為l，2，3，4名，如果在“二模”考試中的前4名依然是這四名同學(xué)．
（1）求“二模”考試中恰好有兩名同學(xué)排名不變的概率；
（2）設(shè)“二模”考試中排名不變的同學(xué)人數(shù)為X，求X分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）“二模”考試中恰好有兩名同學(xué)排名不變的情況數(shù)為：

C

2 4

=6（種），“二模”考試中排名情況總數(shù)為：

A

4 4

=24．由此能求出“二模”考試中恰好有兩名同學(xué)排名不變的概率．
（2）“二模”考試中排名不變的同學(xué)人數(shù)X可能的取值為：4，2，1，0，分別求出P（X=4），P（X=2），P（X=1），P（X=0），由此能求出X分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（1）“二模”考試中恰好有兩名同學(xué)排名不變的情況數(shù)為：

C

2 4

=6（種）
“二模”考試中排名情況總數(shù)為：

A

4 4

=24
所以“二模”考試中恰好有兩名同學(xué)排名不變的概率為p=

6

24

=

1

4

（5分）
（2）“二模”考試中排名不變的同學(xué)人數(shù)X可能的取值為：4，2，1，0，
p(X=4)=

1

24

，
p(X=2)=

1

4

，
p(X=1)=

8

24

=

1

3

，
p(X=0)=1-(

1

24

+

1

4

+

1

3

)=

3

8

，
∴X分布列為：

X	0	1	2	4
P	3 8	1 3	1 4	1 24

X的數(shù)學(xué)期望EX=0×

3

8

+1×

1

3

+2×

1

4

+4×

1

24

=1（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法，是歷年高考的必考題型．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．