Question

若a_n=log_（n+1）（n+2）（n∈N），我們把使乘積a₁a₂…a_n為整數的數n叫做“劣數”，則在區間（1，2004）內所有劣數的和為

2026

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Answer 1

分析：由已知中a_n=log_（n+1）（n+2），利用對數的運算性質（換底公式的推論），我們可以得到乘積a₁a₂…a_n=log₂（n+2），則當n+2為2的整數次冪時，n為劣數，即所有劣數n，對應的n+2構成一個以4為首項，以2為公比的等比數列，由等比數列的前n項和公式，易求出區間（1，2004）內所有劣數的和．

解答：解：∵a_n=log_（n+1）（n+2）
∴a₁=log₂3；a₂=log₃4；a₃=log₄5；…
則a₁a₂…a_n=log₂3•log₃4•log₄5•…•log_（n+1）（n+2）=log₂（n+2）
當n+2為2的整數次冪時，a₁a₂…a_n為整數
則在區間（1，2004）內所有劣數n，對應的n+2構成一個以4為首項，以2為公比的等比數列，且滿足條件的最后一項為1024
則區間（1，2004）內所有劣數的和為：
（4-2）+（8-2）+（16-2）+…+（1024-2）=（4+8+16+…+1024）-2×9=2044-18=2026
故答案為：2026

點評：本題考查的知識點是對數的運算性質，等比數列的前n項和公式，其中根據對數的運算性質將a₁a₂…a_n化為log₂（n+2），是解答本題的關鍵，解答時，要注意在區間（1，2004）內最小的劣數對應的n+2為4，而不是2．