Question

已知橢圓的中心在原點,焦點在x軸上,一個頂點A(0,-1),且右焦點到右準線的距離為.

(1)求橢圓的方程.

(2)試問是否能找到一條斜率為k(k≠0)的直線l,使l與橢圓交于不同兩點M、N且滿足|AM|=|AN|?若這樣的直線存在,求出k的取值范圍;若不存在,請說明理由.

Answer 1

1、橢圓方程為+y²=1.

2、k∈(-1,0)∪(0,1).

解析:

(1)設橢圓方程為=1,由已知得b=1,=.

∴c=,a²=3.

∴橢圓方程為+y²=1.

(2)設M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂),MN中點P(x₀,y₀).

∴兩式相減,得

∴k=-.                                                                   ①

又∵|AM|=|AN|,

∴AP⊥MN.

∴k_AP=-,即=-.                                                      ②

聯立①②,解得

若直線l存在,則P在橢圓內部.

∴+y₀²<1,從而得k²<1.

∴-1<k<1且k≠0.

∴滿足條件的直線l存在,且k∈(-1,0)∪(0,1).