Question

（2013•三門峽模擬）設數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=1，a_n+1=3S_n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）寫出a₂，a₃的值，并求出數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數列{na_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（I）由已知中a₁=1，a_n+1=3S_n+1，代入可得a₂，a₃的值，進而n≥2時，a_n=3S_n-1+1，與已知式相減可得a_n+1=4a_n，即數列{a_n}是以1為首項，4為公比的等比數列，可得通項公式；
（II）數列{na_n}的通項是一個等差數列和等比數列積的形式，應選用錯位相減法，求其前n項和T_n．

解答：解：（Ⅰ）∵a₁=1，a_n+1=3S_n+1，
a₂=4，a₃=16．…（2分）
由題意，a_n+1=3S_n+1，
則當n≥2時，a_n=3S_n-1+1．
兩式相減，化簡得a_n+1=4a_n（n≥2）．…（4分）
又因為a₁=1，a₂=4，，
則數列{a_n}是以1為首項，4為公比的等比數列，
所以an=4n-1（n∈N^*）             …（6分）
（Ⅱ）Tn=a1+2a2+3a3+…+nan=1+2×4+3×42+…+n•4n-1，
4Tn=4×1+2×42+3×43+…+(n-1)•4n-1+n•4n，…（8分）
兩式相減得，-3Tn=1+4+42+…+4n-1-n•4n=

1-4n

1-4

-n•4n．…（12分）
化簡整理得，T_n=4n(

n

3

-

1

9

)+

1

9

（n∈N^*）．…（13分）

點評：本題是數列問題比較經典的考題，是高考試卷考查數列的常見題型，首先要根據定義法，迭代法、構造數列法等求出數列的通項公式，再利用裂項法，錯位相減法等求數列的前n項和．