Question

如圖，正方體ABDC-A₁B₁C₁D₁，點M、N分別在　 AD₁、AC₁上
（1）若AM=MD₁，AN=NC₁，試判斷直線MN與A₁C₁的位置關系；并求MN與A₁C₁所成的角；
（2）若AM=2MD₁，AN=2NC₁，試判斷直線MN與平面A₁B₁AB的關系，并證明．

Answer 1

解：（1）直線MN與A₁C₁成異面直線．
取A₁D₁、D₁C₁的中點E、F，連接EF
∴MN∥EF，
又∵A₁B₁∥D₁C₁
∴∠D₁FE就是所求．
由題意得：△D₁FE為等腰直角三角形，∠D₁FE=45°
∴MN與A₁B₁所成的角為45°．（5分）
（2）直線MN與平面ABCD平行．
證明：分別過點M，N作底面的垂線交AD，DC于點P，Q，連接PQ．
∴MP||DD₁，NQ||CC₁，MP||NQ
∵AM=2MD₁，ND=2NC₁，
∴MP=DD₁，NQ=CC₁
∴MP=NQ，即四邊形PMNQ為平行四邊形，
∴MN||PQ
又∵PQ在平面ABCD內，
∴直線MN與平面ABCD平行．（10分）
分析：（1）取A₁D₁、D₁C₁的中點E、F，連接EF，根據中位線可知MN∥EF，而A₁B₁∥D₁C₁則∠D₁FE就是所求，在△D₁FE求出此角即可；
（2）直線MN與平面ABCD平行，欲證直線MN與平面ABCD平行，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證MN與平面ABCD內一直線平行，分別過點M，N作底面的垂線交AD，DC于點P，Q，連接PQ，可證四邊形PMNQ為平行四邊形，從而MN||PQ，而PQ在平面ABCD內，滿足定理所需條件．
點評：本題考查直線與平面平行的判定，直線與平面所成的角的求法，考查學生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．