Question

如圖，在直徑為1的圓O中，作一關于圓心對稱、鄰邊互相垂直的十字形，其中y＞x＞0．
（Ⅰ）將十字形的面積表示為θ的函數；
（Ⅱ）θ為何值時，十字形的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設S為十字形的面積，根據圖形能夠得到其表達式為S=2xy-x²，再由圓的參數方程知x=cosθ，y=sinθ，故S=2sinθcosθ-cos²θ（＜θ＜）．
（Ⅱ）由S=2sinθcosθ-cos²θ=sin2θ-cos2θ-=sin（2θ-φ）-可以求出θ為何值時，十字形的面積最大和最大面積是多少．
解答：解：（Ⅰ）設S為十字形的面積，則S=2xy-x²=2sinθcosθ-cos²θ（＜θ＜）．（4分）
（Ⅱ）S=2sinθcosθ-cos²θ=sin2θ-cos2θ-=sin（2θ-φ）-，
其中φ=arccos．（8分）
當sin（2θ-φ）=1，即2θ-φ=時，S最大．（10分）
所以，當θ=+arccos時，S最大．S的最大值為（12分）
點評：本題考查函數的應用，解題時要認真審題，仔細解答．