Question

在如圖所示的多面體中，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長均為2，四邊形ABCD是菱形．
（Ⅰ）求證：平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求該多面體的體積．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，∴BB₁⊥AD，
又∵四邊形ABDC是菱形，∴AD⊥BC，
∵BB₁，BC?平面BB₁C₁C，且BC∩BB₁=B，
∴AD⊥平面BCC₁B₁
∵AD?平面ADC₁，
∴平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁
（Ⅱ）∵正三角形ABC邊長為2，可得S_△ABC=×2²=，三棱柱的高AA₁=2
∴正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積為
又∵AD⊥平面BCC₁B₁，可得四棱錐D-B₁C₁CB的高在AD上且等于AD的
∴四棱錐D-B₁C₁CB的體積為
所以該多面體的體積為
分析：（I）利用正三棱柱的性質，可得BB₁⊥AD，結合菱形ABDC的對角線AD⊥BC，可證出AD⊥平面BCC₁B₁，最后結合面面垂直的判定定理，可得平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁；
（II）由題意，易得正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積，再根據（I）中的線面垂直結合題中所給的數據算出四棱錐D-B₁C₁CB的體積，將兩體積相加即得求該多面體的體積．
點評：本題給出由正三棱柱和四棱錐拼接而成的一個多面體，叫我們證明面面垂直并且求該多面體的體積，著重考查了空間面面垂直的判定和組合幾何體的體積計算等知識，屬于基礎題．