Question

某玩具廠生產(chǎn)一種兒童智力玩具，每個(gè)玩具的材料成本為20元，加工費(fèi)為t元（t為常數(shù)，且2≤t≤5），出廠價(jià)為x元（25≤x≤40）．根據(jù)市場調(diào)查知，日銷售量q（單位：個(gè)）與e^x成反比，且當(dāng)每個(gè)玩具的出廠價(jià)為30元時(shí)，日銷售量為100個(gè)．
（1）求該玩具廠的日利潤y元與每個(gè)玩具的出廠價(jià)x元之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若t=5，則每個(gè)玩具的出廠價(jià)x為多少元時(shí)，該工廠的日利潤y最大？并求最大值．

Answer 1

分析：（1）由條件“日銷售量與e^x（e為自然對數(shù)的底數(shù)）成反比例”可設(shè)日銷量函數(shù)解析式，根據(jù)日利潤y=每件的利潤×件數(shù)，即可建立函數(shù)關(guān)系式；
（2）先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，求出極值點(diǎn)，利用單調(diào)性求出函數(shù)的最值．

解答：解：（1）設(shè)日銷售量q=

k

ex

(k≠0)，則

k

e30

=100，∴k=100e³⁰（2分）
∴日銷售量q=

100e30

ex

，
∴y=

100e30(x-20-t)

ex

(25≤x≤40)（6分）
（2）當(dāng)t=5時(shí)，y=

100e30(x-20-t)

ex

(25≤x≤40)
∴y′=

100e30(26-x)

ex

(25≤x≤40)，（9分）
由y'＞0，得25≤x＜26，由y'＜0，得26＜x≤40，
∴函數(shù)在[25，26）上單調(diào)遞增，在（26，40]上單調(diào)遞減，
當(dāng)x=26時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為ymax=100e4．   （12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù)的建立，解題的關(guān)鍵是把“問題情境”譯為數(shù)學(xué)語言，找出問題的主要關(guān)系，并把問題的主要關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)問題，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)ふ疫m當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q，再返回到實(shí)際問題中加以說明．