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已知A、B、C是△ABC的三個內角，y=cotA+
2sinA
cosA+cos ( B-C )
．
（1）若△ABC是正三角形，求y的值；
（2）若任意交換△ABC中兩個角的位置，y的值是否變化？證明你的結論；
（3）若△ABC中有一內角為45°，求y的最小值．
（1）若△ABC是正三角形，則A=B=C=
π
3
，
y=cotA+
2sinA
cosA+cos ( B-C )
=
3
3
+
3
1
2
+1
=
3
．
（2）∵y=cotA+
2sinA
cosA+cos ( B-C )
=
cos2A+cosAcos(B-C)+2sin2A
sinAcosA+sinAcos(B-C)
 
=
1+sin2A-cos(B+C)cos(B-C)
1
2
sin2A+sin(B+C)cos(B-C)
=
1+ 
1-cos2A
2
-
1
2
(cos2B+cos2C)
1
2
[sin2A+sin2B+sin2C]
 
=
3-( cos2A+cos2B+cos2C)
sin2A+sin2B+sin2C
．
∴若任意交換△ABC中兩個角的位置，則y的值不會發生變化．
（3）若△ABC中有一內角為45°，不妨設A=45°，則B+C=135°．
y=
3-( cos2A+cos2B+cos2C)
sin2A+sin2B+sin2C
=
3-(cos2B+cos2C)
1+sin2B+sin2C
=
3-2cos(B+C)cos(B-C)
1+2sin(B+C)cos(B-C)

=
3+
2
cos(B-C)
1+
2
cos(B-C)
=1+
2
1+
2
cos(B-C)
．
故當cos（B+C）=1（最大值）時，y有最小值為1+
2
1+
2
=2
2
-1．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

3、已知a，b，c是三條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，下列命題中正確的是（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知A、B、C是直線l上的三點，向量
OA
、
OB
、
OC
滿足
OA
-（y+1-lnx）
OB
+
1-x
ax
OC
=
o
，（O不在直線l上a＞0）
（1）求y=f（x）的表達式；
（2）若函數f（x）在[1，∞]上為增函數，求a的范圍；
（3）當a=1時，求證lnn＞
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
，對n≥2的正整數n成立．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知a，b，c是直角三角形的三邊，其中c為斜邊，若實數M使不等式
1
a
+
1
b
+
1
c
≥
M
a+b+c
恒成立，則實數M的最大值是（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：單選題

已知A、B、C是銳角△ABC的三個內角，內量p＝(1+sinA，1+cosA)，q＝(1+sinB，-1-cosB)，則p與q的夾角是


  1. A.
    銳角
  2. B.
    鈍角
  3. C.
    直角
  4. D.
    不確定

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科目：高中數學 來源：0119 期末題 題型：單選題

已知a、b、c是直線，α、β是平面，給出下列五種說法：
①若a⊥b，b⊥c，則a∥c；   ②若a∥b，b⊥c，則a⊥c；
③若a∥β，bβ，則a∥b； ④若a與b異面，且a∥β，則b與β相交；
⑤若a∥c，α∥β，a⊥α，則c⊥β。
其中正確說法的個數是

[     ]

A．4
B．3
C．2
D．1

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同步練習冊答案
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