Question

如圖，在三棱錐A-BCD中，面ABC⊥面BCD，△ABC是正三角形，∠BCD=90°，∠CBD=30°．
（Ⅰ）求證：AB⊥CD；
（Ⅱ）求二面角D-AB-C的大小；
（Ⅲ）求異面直線AC與BD所成角的大小．

Answer 1

分析：解法一：
（1）根據平面與平面垂直的性質定理可得：CD⊥面ABC，所以DC⊥AB．
（2）由（Ⅰ）知CD⊥面ABC．二面角的度量關鍵在于找出它的平面角，構造平面角常用的方法就是三垂線法．過點C作CM⊥AB于M，連接DM．所以∠CMD是二面角D-AB-C的平面角．
（3）求異面直線所成的角，一般有兩種方法，一種是幾何法，其基本解題思路是“異面化共面，認定再計算”，即利用平移法和補形法將兩條異面直線轉化到同一個三角形中，結合余弦定理來求．還有一種方法是向量法，即建立空間直角坐標系，利用向量的代數法和幾何法求解．取三邊AB、AD、BC的中點M、N、O，連接AO、MO、NO、MN、OD，則OM∥AC，OM=

1

2

AC；MN∥BD，MN=

1

2

BD．
∴∠OMN是異面直線AC與BD所成的角或其補角．
解法二：
以點O為原點，OM所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，OA所在直線為z軸，建立空間直角坐標系．這種解法的好處就是：（1）解題過程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對位置的有關定理，因為這些可以用向量方法來解決．（2）即使立體感稍差一些的學生也可以順利解出，因為只需畫個草圖以建立坐標系和觀察有關點的位置即可．
（1）設CD=1，則O（0，0，0），A(0，0，

3

2

)，B(0，-

3

2

，0)，C(0，

3

2

，0)，D(1，

3

2

，0)．故由

AB

•

CD

=0得：

AB

⊥

CD

，即AB⊥CD．
（2）由CD⊥平面ABC得，平面ABC的法向量為

CD

=(1，0，0)，設平面ABD的法向量為

n

=(x，y，z)，所以這兩個法向量的夾角的大小（正值）即為二面角D-AB-C的大小；
（3）因為

BD

=(1，

3

，0)，

AC

=(0，

3

2

，-

3

2

)，故異面直線AC和BD所成角的大小即為

BD

與

AC

的夾角的大小．

解答：解法一：
（Ⅰ）證明：∵面ABC⊥面BCD，∠BCD=90°，且面ABC∩面BCD=BC，
∴CD⊥面ABC．（2分）
又∵AB?面ABC，
∴DC⊥AB．（4分）
（Ⅱ）解：如圖，過點C作CM⊥AB于M，連接DM．

由（Ⅰ）知CD⊥面ABC．
∴CM是斜線DM在平面ABC內的射影，
∴DM⊥AB．（三垂線定理）
∴∠CMD是二面角D-AB-C的平面角．（6分）
設CD=1，由∠BCD=90°，∠CBD=30°得BC=

3

，BD=2．
∵△ABC是正三角形，
∴CM=

3

2

•BC=

3

2

．
∴tan∠CMD=

CD

CM

=

2

3

．
∴∠CMD=arctan

2

3

．
∴二面角D-AB-C的大小為arctan

2

3

．（9分）
（Ⅲ）解：如圖，取三邊AB、AD、BC的中點M、N、O，
連接AO、MO、NO、MN、OD，
則OM∥AC，OM=

1

2

AC；MN∥BD，MN=

1

2

BD．
∴∠OMN是異面直線AC與BD所成的角或其補角．（11分）
∵△ABC是正三角形，且平面ABC⊥平面BCD，
∴AO⊥面BCD，△AOD是直角三角形，ON=

1

2

AD．
又∵CD⊥面ABC，故AD=

DC2+AC2

=2ON=2．
在△OMN中，OM=

3

2

，MN=1，ON=1．
∴cos∠OMN=

1 2 MO

MN

=

3

4

．
∴異面直線AC和BD所成角為arccos

3

4

．（14分）
解法二：
（Ⅰ）分別取BC、BD的中點O、M，連接AO、OM．
∵△ABC是正三角形，
∴AO⊥BC．
∵面ABC⊥面BCD，且面ABC∩面BCD=BC，
∴AO⊥平面BCD．
∵OM是△BCD的中位線，且CD⊥平面ABC，
∴OM⊥平面ABC．
以點O為原點，OM所在直線為x軸，OC所
在直線為y軸，OA所在直線為z軸，建立空間
直角坐標系．（2分）

設CD=1，則O（0，0，0），A(0，0，

3

2

)，B(0，-

3

2

，0)，C(0，

3

2

，0)，D(1，

3

2

，0)．
∴

AB

=(0，-

3

2

，-

3

2

)，

CD

=(1，0，0)．（4分）
∴

AB

•

CD

=0×1+(-

3

2

)×0+(-

3

2

)×0=0．
∴

AB

⊥

CD

，即AB⊥CD．（6分）
（Ⅱ）∵CD⊥平面ABC，
∴平面ABC的法向量為

CD

=(1，0，0)．（7分）
設平面ABD的法向量為

n

=(x，y，z)，
∴

AB

=(0，-

3

2

，-

3

2

)，

AD

=(1，

3

2

，-

3

2

)．
∴

n

•

AB

=0×x+(-

3

2

)×y+(-

3

2

)×z=0，
即

3

y+3z=0．

n

•

AD

=1×x+

3

2

×y+(-

3

2

)×z=0，
即2x+

3

y-3z=0．
∴令y=

3

，則x=-3，z=-1．
∴

n

=(-3，

3

，-1)．（9分）

∴cos＜

CD

，

n

＞=

CD • n

| CD |•| n |

=

-3×1+ 3 ×0+(-1)×0

(-3)2+( 3 )2+(-1)2 • 12+02+02

=-

3 13

13

．
∵二面角D-AB-C是銳角，
∴二面角D-AB-C的大小為arccos

3 13

13

．（11分）
（Ⅲ）∵

BD

=(1，

3

，0)，

AC

=(0，

3

2

，-

3

2

)，
∴cos＜

BD

，

AC

＞=

BD • AC

| BD |•| AC |

=

1×0+ 3 × 3 2 +0×(- 3 2 )

12+( 3 )2+02 • 02+( 3 2 )2+(- 3 2 )2

=

3

4

．
∴異面直線AC和BD所成角為arccos

3

4

．（14分）

點評：本小題主要考查棱錐的結構特征，二面角和線面關系等基本知識，同時考查空間想象能力和推理、運算能力．