Question

已知等比數列{a_n}中，a₂=2，a₅=128，若b_n=log₂a_n，數列{b_n}前n項的和為S_n．
（Ⅰ）求數列{b_n}的前n項和S_n；
（Ⅱ）求不等式S_n＜2b_n的解集．

Answer 1

分析：（I）設數列{a_n}的公比為q，由a₂=2，a₅=128求得a₁和q，再根據等比數列{a_n}的通項公式，進而可知數列{b_n}是等差數列．再利用等差數列的求和公式求得答案．
（II）由S_n＜2b_n，得n²-2n＜2（2n-3），即n²-6n+6＜0，解不等式即可

解答：解：（I）在等比數列{a_n}中，由a₅=a₂q³，又a₂=2，a₅=128，q³=64，
∴q=4，∴a_n=a₂q^n-2=2•4^n-2=2^2n-3，
∴b_n=log₂a_n=log₂2^2n-3=2n-3．b_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=（2•1-3）+（2•2-3）+（2•3-3）+…+（2•n-3）
=2（1+2+3+…+n）-3n=n²-2n
（II）由S_n＜2b_n，得n²-2n＜2（2n-3），即n²-6n+6＜0，
∴3-

3

＜n＜3+

3

又n∈N^*，
∴n=2，3，4
故原不等式的解集是{2，3，4}

點評：本題主要考查了等比數列的通項公式及不等式的解法．屬基礎題．