Question

已知函數f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集為[-1，1]．
（1）求m的值；
（2）若a，b，c∈R₊，且++=m，求 Z=a+2b+3c的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用已知條件，轉化不等式為絕對值不等式，即可求m的值；
（2）通過a，b，c∈R₊，且++=m，直接利用柯西不等式，求出Z=a+2b+3c的最小值．
解答：解：（1）因為f（x+2）=m-|x|，f（x+2）≥0等價于|x|≤m，
由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集為{x|-m≤x≤m}．
又f（x+2）≥0的解集為[-1，1]，故m=1．…（6分）
（2）由（1）知++=1，又a，b，c∈R₊，由柯西不等式得
Z=a+2b+3c=（a+2b+3c）（++）≥（++）²=9．
∴Z=a+2b+3c 的最小值為9                                  …．（12分）
點評：本題考查絕對值不等式的解法解法，柯西不等式求解表達式的最值，考查轉化思想與計算能力．