Question

已知△ABC的三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且b²+c²=a²+bc，求：（1） 2sinBcosC-sin（B-C）的值；（2）若a=2，求△ABC周長的最大值．

Answer 1

（1）∵b²+c²=a²+bc，∴a²=b²+c²-bc，
結合余弦定理知cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

b2+c2-(b2+c2-bc)

2bc

=

1

2

，
又A∈（0，π），∴A=

π

3

，
∴2sinBcosC-sin（B-C）=sinBcosC+cosBsinC
=sin（B+C）=sin[π-A]=sinA=

3

2

；
（2）由a=2，結合正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

2

3 2

=

4 3

3

，
∴b=

4 3

3

sinB，c=

4 3

3

sinC，
則a+b+c=2+

4 3

3

sinB+

4 3

3

sinC
=2+

4 3

3

sinB+

4 3

3

sin（

2π

3

-B）
=2+2

3

sinB+2cosB=2+4sin（B+

π

6

），
可知周長的最大值為6．