Question

設a₁，a₂，a₃，…，a_n（n∈N^*）都是正數，且a₁a₂a_3^•…a_n⁼¹，試用數學歸納法證明：a₁+a₂+a_3⁺…+a_n≥n．

Answer 1

分析：先證n=1時，不等式成立，假設當n=k-1時成立，則當n=k時，考慮等式a₁a₂a_3^•…•a_k=1，分類討論，利用假設，即可得到結論．

解答：證明：①當n=1時，不等式成立
②假設當n=k-1時成立，則當n=k時，考慮等式a₁a₂a_3^•…•a_k=1
若a₁，a₂，a₃，…，a_k相同，則都為1，不等式得證
若a₁，a₂，a₃，…，a_k不全相同，則a₁，a₂，a₃，…，a_k的最大數和最小數不是同一個數
不妨令a₁為a₁，a₂，a₃，…，a_k的最大數，a₂為a₁，a₂，a₃，…，a_k的最小數．
則∵a₁a₂a_3^•…•a_k=1，∴最大數a₁≥1，最小數a₂≤1
現將a₁a₂看成一個數，利用歸納假設，有a₁a₂+a₃+…+a_k≥k-1…（1）
由于a₁≥1，a₂≤1，所以（a₁-1）（a₂-1）≤0
所以a₁a₂≤a₁+a₂-1…（2）
將（2）代入（1），得
（a₁+a₂-1）+a₃+…+a_k≥k-1，即a₁+a₂+a₃+…+a_k≥k
∴當n=k時，結論正確
綜上可知，a₁+a₂+a₃+…+a_n≥n．

點評：本題考查數學歸納法，考查學生分析解決問題的能力，正確運用數學歸納法的證題 步驟是關鍵．