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已知函數(shù)f(x)=loga(a-ax)(a>1).
(1)求f(x)的定義域、值域,并判斷f(x)的單調(diào)性;
(2)解不等式f-1(x2-2)>f(x).
分析:(1)為使函數(shù)有意義,需滿足真數(shù)大于0,從而可確定函數(shù)定義域;根據(jù)loga(a-ax)<logaa=1,可得函數(shù)的值域;利用單調(diào)性的定義可判斷f(x)在(-∞,1)上是減函數(shù);
(2)求出函數(shù)f(x)=loga(a-ax)的反函數(shù),將f-1(x2-2)>f(x)轉(zhuǎn)化為f(x2-2)>f(x),利用函數(shù)的單調(diào)性,即可得到結(jié)論.
解答:解:(1)為使函數(shù)有意義,需滿足a-ax>0,即ax<a,又a>1,∴x<1,即函數(shù)定義域為(-∞,1).
又由loga(a-ax)<logaa=1,
∴f(x)<1,
∴函數(shù)的值域為(-∞,1).
設(shè)x1<x2<1,則f(x1)-f(x2)=loga(a-ax1)-loga(a-ax2)=loga
a-ax1
a-ax2
>loga1=0,即f(x1)>f(x2).
∴f(x)在(-∞,1)上是減函數(shù).          …(6分)
(2)設(shè)y=loga(a-ax),則ay=a-ax,∴ax=a-ay,∴x=loga(a-ay)
∴f(x)=loga(a-ax)的反函數(shù)為f-1(x)=loga(a-ax)(x<1).
由f-1(x2-2)>f(x),得f(x2-2)>f(x),
x2-2<x
x2-2<1
x<1
解得-1<x<1.
故所求不等式的解為{x|-1<x<1}.                     …(12分)
點評:本題考查對數(shù)函數(shù)的定義域與值域,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查反函數(shù),考查不等式的解法,確定函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2x-2+ae-x(a∈R)
(1)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線平行于x軸,求a的值;
(2)當a=1時,若直線l:y=kx-2與曲線y=f(x)在(-∞,0)上有公共點,求k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2+2|lnx-1|.
(1)求函數(shù)y=f(x)的最小值;
(2)證明:對任意x∈[1,+∞),lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立;
(3)對于函數(shù)f(x)圖象上的不同兩點A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),如果在函數(shù)f(x)圖象上存在點M(x0,y0)(其中x0∈(x1,x2))使得點M處的切線l∥AB,則稱直線AB存在“伴侶切線”.特別地,當x0=
x1+x2
2
時,又稱直線AB存在“中值伴侶切線”.試問:當x≥e時,對于函數(shù)f(x)圖象上不同兩點A、B,直線AB是否存在“中值伴侶切線”?證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點A(1,f(1))處的切線l與直線x+3y-1=0垂直,若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn,則S2012的值為(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=xlnx
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的極值點;
(Ⅱ)若直線l過點(0,-1),并且與曲線y=f(x)相切,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
(1)試就實數(shù)a的不同取值,寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)已知當x>0時,函數(shù)在(0,
6
)上單調(diào)遞減,在(
6
,+∞)上單調(diào)遞增,求a的值并寫出函數(shù)的解析式;
(3)記(2)中的函數(shù)圖象為曲線C,試問是否存在經(jīng)過原點的直線l,使得l為曲線C的對稱軸?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.

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