Question

已知函數f（x）的導函數為f′（x）=2+cosx，x∈（-1，1），且f（0）=0，如果f（1-x）+f（1-x²）＜0，則實數x的取值范圍為（　　）

• A、（0，1）
• B、(1 ， 

  2

  )
• C、(-2 ， -

  2

  )
• D、(1，

  2

  )∪(-

  2

   ， -1)

Answer 1

分析：先根據f′（x）=2+cosx，x∈（-1，1），且f（0）=0判斷f（x）在（-1，1）上單調遞增，進而根據函數的導函數求得函數f（x）的解析式，判斷出函數f（x）為奇函數，進而根據f（1-x）+f（1-x²）＜0，建立不等式組，求得x的范圍．

解答：解：∵f′（x）=2+cosx＞0，f（0）=0
∴f（x）在（-1，1）上單調遞增
∵f（x）=2x+sinx，從而得f（x）是奇函數；
所以f（1-x）＜-f（1-x²）=f（x²-1）即有

1-x＜x2-1 -1＜1-x＜1 -1＜x2-1＜1

解得1＜x＜

2

故選B．

點評：函數、導數、不等式的綜合問題是代數中常見的問題，綜合性強，主要考查推理能力．