Question

6．函數(shù)f（x）對任意x∈R，滿足f（x）=f（2-x）．如果方程f（x）=0恰有2016個實根，則所有這些實根之和為（　　）

• A． 0
• B． 2016
• C． 4032
• D． 8064

Answer 1

分析 由f（x）=f（2-x），可得函數(shù)y=f（x）關于直線x=1對稱，依題意可求得方程f（x）=0的2016個實根之和．

解答 解：∵f（x）=f（2-x），
∴函數(shù)y=f（x）關于直線x=1對稱，又方程f（x）=0恰有2016個實根，
設這2016個根從小到大依次為x₁、x₂、…、x₂₀₁₆，
則x₁+x₂₀₁₆=2，
x₂+x₂₀₁₅=2，
…
x₁₀₀₈+x₁₀₀₉=2，
∴所有這些實根之和為1008×2=2016．
故選：B．

點評 本題考查抽象函數(shù)及其性質(zhì)，著重考查函數(shù)的對稱性的應用，求得函數(shù)y=f（x）關于直線x=1對稱是關鍵，屬于中檔題．