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(2011•江蘇二模)已知方程(
1
2
x=x
1
3
的解x∈(
1
n+1
,
1
n
),則正整數(shù)n=
2
2
分析:先將方程的根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題,再判斷函數(shù)的單調(diào)性確定若存在零點,則只有一個,最后利用零點存在性定理,證明零點所在的范圍,對照已知求得n值
解答:解:方程(
1
2
x=x
1
3
的解即函數(shù)f(x)=(
1
2
x-x
1
3
的零點
∵y=(
1
2
x為定義域上的減函數(shù),y=-x
1
3
為定義域上的減函數(shù)
∴函數(shù)f(x)為定義域R上的單調(diào)減函數(shù)
又∵f(
1
3
)=(
1
2
)
1
3
-(
1
3
)
1
3
>0,(考慮冪函數(shù)y=x
1
3
為R上的增函數(shù))
f(
1
2
)=(
1
2
)
1
2
-(
1
2
)
1
3
<0,(考慮指數(shù)函數(shù)y=(
1
2
x為R上的減函數(shù))
即f(
1
3
)×f(
1
2
)<0
∴函數(shù)f(x)=(
1
2
x-x
1
3
在區(qū)間(
1
3
1
2
)上有且只有一個零點
1
n
=
1
2
,即n=2
故答案為 n=2
點評:本題考查了方程的根與函數(shù)零點間的關(guān)系,零點存在性定理,二分法求函數(shù)的零點的范圍,指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的單調(diào)性
練習(xí)冊系列答案
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216(或者65536)
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