Question

已知函數(shù)f（x）=cos²

x

2

-sin

x

2

cos

x

2

-

1

2

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若f（α）=

3 2

10

，求sin2α的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將函數(shù)解析式第一項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，第二項利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化為一個角的余弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式即可求出函數(shù)的最小正周期，由余弦函數(shù)的遞增區(qū)間為[2kπ-π，2kπ]，k∈Z列出關于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范圍，即為函數(shù)的遞增區(qū)間；
（Ⅱ）由第一問確定的函數(shù)解析式，以及f（a）=

3 2

10

，求出cos（α+

π

4

）的值，將所求式子變形后，利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，將cos（α+

π

4

）的值代入即可求出值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=cos²

x

2

-sin

x

2

cos

x

2

-

1

2

=

1

2

（1+cosx）-

1

2

sinx-

1

2

=

2

2

cos（x+

π

4

），
∵ω=1，∴f（x）的最小正周期為2π；
令2kπ-π≤x+

π

4

≤2kπ，k∈Z，解得：2kπ-

5π

4

≤x≤2kπ-

π

4

，k∈Z，
則函數(shù)的單調遞增區(qū)間為[2kπ-

5π

4

，2kπ-

π

4

]，k∈Z；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（α）=

2

2

cos（α+

π

4

）=

3 2

10

，
∴cos（α+

π

4

）=

3

5

，
∴sin2α=-cos（

π

2

+2α）=-cos2（α+

π

4

）=1-2cos²（α+

π

4

）=1-

18

25

=

7

25

．

點評：此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，三角函數(shù)的周期性及其求法，以及正弦函數(shù)的單調性，熟練掌握公式是解本題的關鍵．