Question

已知三棱錐P-ABC的四個頂點均在半徑為R的球面上，且滿足：

PA

•

PB

=0，

PB

•

PC

=0，

PC

•

PA

=0，則三棱錐P-ABC的側面積的最大值為（　　）

• A、2R²
• B、3R²
• C、4R²
• D、R²

Answer 1

分析：由已知中三棱錐P-ABC的四個頂點均在半徑為的球面上，且滿足：

PA

•

PB

=0，

PB

•

PC

=0，

PC

•

PA

=0，則在P點PA，PB，PC兩兩垂直，球直徑等于以PA，PB，PC為棱的長方體的對角線，由基本不等式易得到三棱錐P-ABC的側面積的最大值．

解答：解：∵

PA

•

PB

=0，

PB

•

PC

=0，

PC

•

PA

=0，
∴PA，PB，PC兩兩垂直，
又∵三棱錐P-ABC的四個頂點均在半徑為R的球面上
∴（2R）²=PA²+PB²+PC²，
則由基本不等式可得PA²+PB²≥2PA•PB，PA²+PC²≥2PA•PC，PB²+PC²≥2PB•PC，
即4R²=PA²+PB²+PC²≥PA•PB+PB•PC+PA•PC
則三棱錐P-ABC的側面積S=

1

2

（PA•PB+PB•PC+PA•PC）≤2R²，
則三棱錐P-ABC的側面積的最大值為2R²，
故選A

點評：本題考查的知識點是棱錐的側面積，基本不等式，棱柱的外接球，其中根據已知條件，得到棱錐的外接球直徑等于以PA，PB，PC為棱的長方體的對角線，是解答本題的關鍵．