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如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC,點D在邊BC上,AD⊥C1D.
(1)求證:AD⊥平面BCC1B1
(2)如果點E是B1C1的中點,求證:A1E∥平面ADC1

【答案】分析:(1)欲證AD⊥平面BCC1B1,根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證AD與平面BCC1B1內兩相交直線垂直,而C1C⊥AD,又AD⊥C1D,C1C∩C1D=C1,滿足定理條件;
(2)根據(1)得AD⊥BC,D為BC邊上的中點,連接DE,而點E是B1C1的中點,則四邊形B1BDE為平行四邊形,可證四邊形A1ADE為平行四邊形,從而A1E∥AD,又A1E?平面ADC1,AD?平面ADC1,根據線面平行的判定定理可知A1E∥平面ADC1
解答:證明:(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,C1C⊥平面ABC,AD?平面ABC,
∴C1C⊥AD,
又AD⊥C1D,C1C∩C1D=C1
∴AD⊥平面BCC1B1.(6分)
(2)由(1)得∴AD⊥BC,
∵在△ABC中,AB=AC,
∴D為BC邊上的中點,(9分)
連接DE,∵點E是B1C1的中點,
∴在直三棱柱ABC-A1B1C1中,四邊形B1BDE為平行四邊形,
,又,∴,∴四邊形A1ADE為平行四邊形.(12分)
∴A1E∥AD,又A1E?平面ADC1,AD?平面ADC1
∴A1E∥平面ADC1.(14分)
點評:本小題主要考查直線與平面垂直的判定,以及直線與平面平行的判定,考查空間想象能力和推理論證能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA.

(I)求證:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值; 

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離.

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科目:高中數學 來源:2011年四川省招生統一考試理科數學 題型:解答題

 

 (本小題共l2分)

    如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一[來源:]

P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA.

(I)求證:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;   

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離.

 

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科目:高中數學 來源:2011年高考試題數學理(四川卷)解析版 題型:解答題

 (本小題共l2分)

    如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一

P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA.

(I)求證:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;   

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離.

 

 

 

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科目:高中數學 來源:四川省高考真題 題型:解答題

如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中,∠ BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1上一點,P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA。
(I)求證:CD=C1D;
(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離

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科目:高中數學 來源: 題型:

    如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一點,P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA.

(I)求證:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離.

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