Question

【題目】已知等差數列{an}的公差d≠0，其前n項和為Sn ， 若S9=99，且a4 ， a7 ， a12成等比數列． （Ⅰ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）若 ，證明： ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因為等差數列{an}的公差d≠0，其前n項和為Sn ， S9=99， ∴a5=11，
由a4 ， a7 ， a12成等比數列，得 ，
即（11+2d）2=（11﹣d）（11+7d），∵d≠0，∴d=2，
∴a1=11﹣4×2=3，
故an=2n+1
證明：（Ⅱ） =n（n+2）， = = ，
∴
= [（1﹣ ）+（ ）+（ ）+…+（ ）+（ ）]
= [1+ ]= ，
故 ．
【解析】（Ⅰ）由S9=99，求出a5=11，由a4 ， a7 ， a12成等比數列，求出d=2，由此能求出數列{an}的通項公式．（Ⅱ）求出 =n（n+2），從而 = = ，由此利用裂項求和法能證明 ．
【考點精析】關于本題考查的等差數列的通項公式（及其變式）和數列的前n項和，需要了解通項公式：或；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系才能得出正確答案．