Question

已知向量

a

=（sinθ，-2）與向量

b

=（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈（0，

π

2

）．
（1）求sinθ和cosθ的值；     
（2）若5cos（θ-?）=3

5

cos?，0＜φ＜

π

2

，求?的值．

Answer 1

分析：（1）由兩向量的坐標(biāo)及兩向量垂直，利用平面向量的數(shù)量積運算法則列出關(guān)系式，再由同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系列出關(guān)系式，聯(lián)立兩關(guān)系式即可求出sinθ和cosθ的值；
（2）利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡已知等式的左邊，將sinθ和cosθ的值代入求出tanφ的值，由φ的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出φ的度數(shù)．

解答：解：（1）由向量

a

=（sin θ，-2）與向量

b

=（1，cos θ）互相垂直，
得sinθ-2cosθ=0，又sin²θ+cos²θ=1，其中θ∈（0，

π

2

），
解得：sinθ=

2 5

5

，cosθ=

5

5

；
（2）由5cos（θ-φ）=3cosφ，得5cosθcosφ+5sinθsinφ=3

5

cosφ，
將sinθ=

2 5

5

，cosθ=

5

5

代入，得sinφ=cosφ，即tanφ=1，
又0＜φ＜

π

2

，所以φ=

π

4

．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．