Question

已知函數f（x）=alnx-ax-3．
（1）當a=1時，求函數f（x）的單調區間；
（2）當a=2時，設函數h(x)=(p-2)x-

p+2e

x

-3，若在區間[1，e]上至少存在一個x₀，使得h（x₀）＞f（x₀）成立，求實數p的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導數即可得出其單調區間；
（2）通過對p分類討論，令F（x）=h（x）-f（x），“在區間[1，e]上至少存在一個x₀，使得h（x₀）＞f（x₀）成立”?F（x）_max＞0即可．

解答：解：（1）當a=1時，f（x）=lnx-x-3，（x＞0），
∴f′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

，令f^′（x）=0，則x=1．
列表如下：
由表可知：f（x）在（0，1）上單調遞增；在（1，+∞）上單調遞減．
（2）當a=2時，f（x）=2lnx-2x-3．
令F（x）=h（x）-f（x）=（p-2）x-

p+2e

x

-3-（2lnx-2x-3）=px-

p

x

-2lnx-

2e

x

．
①當p≤0時，px-

p

x

=p

x2-1

x

≤0，

-2e

x

-2lnx＜0，
∴在[1，e]上不存在x₀滿足F（x）＞0，即h（x₀）＞f（x₀）不成立．
②當p＞0時，F^′（x）=

px2+p+2e-2x

x2

，
∵x∈[1，e]，∴2e-2p≥0，∴F^′（x）＞0在[1，e]上恒成立，故F（x）在[1，e]上單調遞增．
∴F（x）_max=F（e）=pe-

p

e

-4．
故只要pe-

p

e

-4＞0，解得p＞

4e

e2-1

．
所以P的取值范圍是(

4e

e2-1

，+∞)．

點評：熟練掌握導數與函數單調性的關系及對問題正確等價轉化是解題的關鍵．