Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為1的正方形OABC的頂點(diǎn)B在軸的正半軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn).現(xiàn)將正方形OABC繞O點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn).

　(1)當(dāng)點(diǎn)A第一次落到軸正半軸上時(shí)，求邊BC在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積；

　（2）若線段AB與軸的交點(diǎn)為M（如圖2）,線段BC與直線的交點(diǎn)為N.設(shè)的周長(zhǎng)為,在正方形OABC旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中值是否有改變？并說(shuō)明你的結(jié)論；

(3)設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，當(dāng)為何值時(shí)，的面積最小？求出這個(gè)最小值， 并求出此時(shí)△BMN的內(nèi)切圓半徑.

      

 

Answer 1

【答案】

（1）S=  

(2) 的周長(zhǎng)為定值2. （3）.

【解析】此題主要考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及根的判別式、全等三角形的判定與性質(zhì)、扇形面積求法等知識(shí)，利用圖形旋轉(zhuǎn)的變化規(guī)律得出對(duì)應(yīng)邊之間關(guān)系是解題關(guān)鍵

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠AOB=∠BOC=45°，BO=，再利用S=S_扇形OBB′+S_△OC′B′-S_△OCB-S_扇形OCC′=S_扇形OBB′-S_扇形OCC′求出即可；

（2）首先延長(zhǎng)BA交直線y=-x于E點(diǎn)，Rt△AEO≌Rt△CNO，得出AE=CN，OE=ON，進(jìn)而得出△MOE≌△MON，得出ME=MN，進(jìn)而得出l的值不變；

（3）設(shè)MN=m，AM=t．由（2）知，在Rt△MNB中，MN²=MB²+NB²，利用 MN+MB+NB=2，得出m²=（1-t）²+（2-m-1+t）²，即可得出m的取值范圍，即可得出，△OMN的面積最小值，再利用直角三角形內(nèi)切圓半徑求法得出答案即可

解：（1）設(shè)旋轉(zhuǎn)后C在、B在、A在.

S= ………….4分

(2)延長(zhǎng)BA交直線于E點(diǎn)，在與中，

 所以所以

又所以

所以故的周長(zhǎng)為定值2.…..10分

（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111915360839459489/SYS201211191537123945750966_DA.files/image018.png">,

設(shè)由（2）知，在中，

因?yàn)?nbsp; ,所以，得：

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111915360839459489/SYS201211191537123945750966_DA.files/image025.png">，所以（舍去）或

所以的最小值為.                   …….13分

此時(shí)△=0 ∴ ∴A為ME的中點(diǎn).

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111915360839459489/SYS201211191537123945750966_DA.files/image032.png">所以O(shè)A是的平分線，

所以.     ……15分

在中，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r,所以    . ……18分