Question

(本題滿分15分)已知函數f(x)=(2－a)(x－1)－2lnx，,其中a∈R，
（1）求f(x)的單調區間；
（2）若函數f(x)在（0，）上無零點，求a的取值范圍.

Answer 1

(1)當a=2時，f(x)=-lnx,故函數f(x)遞減區間為（0，）；
當a2時，
若a>2,當x>0時，都有，所以函數f(x)遞減區間為（0，）；
若a<2,當x變化時，的變化情況如下表：

x
	－	0	+
f(x)		極小值

故函數f(x)遞減區間為：，
故函數f(x)遞增區間為：
（2）因為f(x)<0在區間上恒成立不可能，故要使函數f(x) 在區間上無零點，只要對任意的x，f(x)>0恒成立即可，
即對x，a>恒成立.
令
則
再令
則
故h(x)在上為減函數，于是h(x)>h,
從而，于是g(x)在上為增函數，
所以g(x)<,
故要使函數f(x)在上無零點，a的取值范圍為：.

略