Question

已知A，B是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左，右頂點，B（2，0），過橢圓C的右焦點F的直線交于其于點M，N，交直線x=4于點P，且直線PA，PF，PB的斜率成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若記△AMB，△ANB的面積分別為S₁，S₂求

S1

S2

的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令P（4，y₀），F(xiàn)（c，0），a=2，A（-2，0），B（2，0）．由2k_PF=k_PA+k_PB，知

2y0

4-c

=

y0

4+2

+

y0

4-2

，由此能得到橢圓C的方程．
（Ⅱ）令M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

3x2+4y2=12 x=my+1

得（3m²+4）y²=6my-9=0y²+6my-9=0，再由韋達定理和三角形的面積公式進行求解．

解答：解：（Ⅰ）令P（4，y₀），F(xiàn)（c，0），a=2，A（-2，0），B（2，0）．
∵2k_PF=k_PA+k_PB，∴

2y0

4-c

=

y0

4+2

+

y0

4-2

，
∴c=1，b²=3，
∴

x2

4

+

y2

3

=1，
（Ⅱ）令M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

3x2+4y2=12 x=my+1

得
（3m²+4）y²=6my-9=0y²+6my-9=0，
y1+y2=

-6m

3m2+4

，①
y1y2 =

-9

3m2+4

，②（9分）
①²/②得

y1

y2

+

y2

y1

+2=

-4m2

3m2+4

，令t=

y1

y2

，（11分）
則|t|+|

1

t

|=|t+

1

t

|=

10m2+8

3m2+4

=

10

3

-

16 3

3m2+4

，
∴2≤|t|+|

1

t

| ＜

10

3

，即

1

3

＜|t|＜3．（13分）
∵

S△AMB

S△ANB

=

1 2 |AB||y1|

1 2 |AB||y2|

=|t|，
∴

S1

S2

∈(

1

3

，3)．（15分）

點評：本題考查橢圓方程的求法和三角形面積比值的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意韋達定理的合理運用．