Question

為了解某校高二學生的視力情況，隨機地抽查了該校100名高二學生的視力情況，得到頻率分布直方圖，如圖，由于不慎將部分數據丟失，但知道前4組的頻數成等比數列，后6組的頻數成等差數列，設最大頻率為B，視力在4.6到5.0之間的學生數為F．
（1）求a，b的值
（2）設m、n表示參加抽查的某兩位同學的視力，且已知m，n∈[4.4，4.5）∪[5.1，5.2]，求事件“|m-n|＞0.1”的概率．

Answer 1

分析：（1）先根據直方圖求出前2組的頻數，根據前4組成等比數列求出第3和第4組的人數，從而求出后6組的人數，根據直方圖可知4.6～4.7間的頻數最大，即可求出頻率a，根據等差數列的性質可求出公差d，從而求出在4.6到5.0之間的學生數為b．
（2）樣本視力在[4.4，4.5）的有3人；在[5.1，5.2）的有7人，先求從這10人中任取2人的基本事件數，再求復合條件的基本事件數，利用古典概型求得概率．

解答：解：（1）由頻率分布直方圖知組矩為0.1，
4.3～4.4間的頻數為100×0.1×0.1=1．
4.4～4.5間的頻數為100×0.1×0.3=3．
又前4組的頻數成等比數列，
∴公比為3．
前4組的頻數分別為：1、3、9、27，
根據后6組頻數成等差數列，且共有100-13=87人．
從而4.6～4.7間的頻數最大，且為1×3³=27，
∴B=0.27，
設公差為d，則6×27+15d=87．
∴d=-5，從而F=27+22+17+12=78，
（2）樣本視力在[4.4，4.5）的有3人；
在[5.1，5.2）的有7人．
從這10中任取2人的基本事件有45個；
設事件A為：抽取兩人視力差大于0.1的事件，事件A共有3×7=21個．
根據古典概型的概率，P（A）=

21

45

=

7

15

．
故事件“|m-n|＞0.1”的概率是

7

15

．

點評：本題考查了頻率分布直方圖及應用，考查等差數列、等比數列，考查了古典概型的概率計算．綜合性強．