Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，為中點，點在上且平面，在延長線上，，交于，且

(1)證明：平面；

(2)設點在線段上，若二面角為，求的長度．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；(2)．

【解析】

(1) 要證平面，只需證明平行于平面內一條直線即可，取的中點，連結，，可證四邊形為平行四邊形，從而可得，根據線面平行的判定定理即可證出；

(2) 取的中點，連結，可證平面，以為原點，為軸，為軸建系，設，求出平面的法向量及平面的法向量，根據二面角為，利用夾角公式列出方程即可求出,進而可求出的長度．

(1)證明：取的中點，連結，，則，且，

因為，交于，且，

又因為，所以，，

所以四邊形為平行四邊形，

所以，又平面，平面，

所以平面.

(2)由平面，平面，

所以，又，和在平面內顯然相交，

所以平面，又平面，

所以平面平面，

取的中點，連結，因為，所以，

又平面平面，平面，所以平面，

在等腰中，，

以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系,

則，，，，

因為為的中點，所以，

設，設平面的一個法向量，

，，

由，得，令，得，，

所以，

設平面的一個法向量，

所以，

因為二面角為，所以，

即，解得，

所以.