Question

（本題滿分12分）
如圖，在四棱錐S-ABCD中，SA⊥底面ABCD，
∠BAD=∠ABC=90°，SA=AB=AD=，E為SD的中點。
(1)若F為底面BC邊上的一點，且BF=，求證：EF∥平面SAB；
(2)底面BC邊上是否存在一點G，使得二面角S-DG-A的正切值為？
若存在，求出G點位置；若不存在，說明理由。

Answer 1

（1）略
（2）存在點G與B重合或BG=滿足題設。

解：方法一：(1)取SA的中點H，連結EH，BH。由HE∥AD，BF∥AD，且HE=。∴EF∥BH，BF=HE，∴四邊形EFBH為平行四邊形。∴EF∥BH，BH∴EF∥平面SAB。………6分
(2)假設存在點G，滿足題設條件，過A作AI⊥DG于I，由三垂線定理得SI⊥DG，并設二面角S-DG-A的大小為α.則tanα=，∴AI=，又AD=1，故∠ADG=45°或∠ADG=135°，若∠ADG=45°，則G與B點重合；若∠ADG=135°，則BG=AD+AB=2，故存在點G與B重合或BG=滿足題設。………12分
方法二：以A點為原點建立空間坐標系，設存在G點，G(x，1,0)，，，設，為平面AGD的法向量，=(0,0,1)，∵tanθ=，∴cosθ=，又∵cosθ=，∴x=0或2，故存在點G與B重合或BG=BC，滿足題設。………12分