Question

（2006•奉賢區一模）如圖P分別是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱DD₁上的點，PB與面ABCD所成的線面角是arctg

2

6

求異面PB與AD₁線所成的角．

Answer 1

分析：先分別以

DA

，

DC

，

DD1

為x軸、y軸、z軸建立直角坐標系，借助于PB與面ABCD所成的線面角是arctg

2

6

，表示出
B（a，a，0），，D₁（0，0，a）　 A（a，0，0），進而可得

BP

={-a，-a，

1

3

a}，

AD1

={-a，0，a }，從而可求異面直線所成的角．

解答：解：正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥面ABCD，∠PBD是PB與面ABCD所成的　　　　　　　　　　　　�。�2分）
設正方形邊長為a，DP=z，則是tan∠PBD=

z

2 a

=

2

6

∴z=

1

3

a（4分）
分別以

DA

，

DC

，

DD1

為x軸、y軸、z軸建立直角坐標系 （5分）
則B（a，a，0），，D₁（0，0，a）　 A（a，0，0）
∴P（0，0，

1

3

a）    （6分）

BP

={-a，-a，

1

3

a}，

AD1

={-a，0，a }，（8分）
設

BA

與

BP

的夾角為θ，cosθ=

BA • AD1

| BP |•| AD1 |

=

4a 3 2

19 9 a2 × 2 a

=

4

38

=

2 38

19

所求的異面直線所成的角為 arccos

2 38

19

（12分）

點評：本小題的考點是異面直線所成的角，主要考查異面直線所成的角，線面角，考查利用空間向量解決空間角的問題，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．